Question

如图所示，△ABC中，∠A=30°，AB=4，AC=6，P为AC上任一点（点P与点A，C都不重合），过点P作PD∥AB，交BC于D，设AP=x．
（1）求△BPD的面积S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）点P在AC上什么位置时，△BPD的面积最大，此时线段PD长度是多少？

Answer 1

分析：（1）S_△BPD=

1

2

•PD•PE．分别用含x的式子表示PD、PE．在△APE中易表示PE；利用△CPD∽△CAB表示PD．
（2）运用函数性质求解．

解答：解：（1）过P作PE⊥AB于E．
∵PD∥AB
∴△CPD∽△CAB
∴

PD

AB

=

CP

AC

，
即

PD

4

=

6-x

6

，PD=

2

3

（6-x），
在Rt△APE中，∠A=30°，AP=x，
∴PE=

1

2

x
S_△BPD=

1

2

•PD•PE
=

1

2

×

2

3

（6-x）×

1

2

x
=-

1

6

x²+x（0＜x＜6）；

（2）∵-

1

6

＜0，
∴函数有最大值．
当x=-

1

2×(- 1 6 )

=3，即P为AC中点时，△BPD面积最大，此时PD的长为2．

点评：此题的关键是借助相似性表示PD与自变量x的关系，从而表达面积，得出函数关系式，然后运用函数性质求解．运用二次函数性质求最值常用公式法或配方法．