题目内容
3．
如图所示．老师上完“三角形相似的判定”一课后，出了如下一道思考题：在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，试问：△AOB和△DOC是否相似？某学生作如下解答：△AOB∽△DOC．理由是，在△A0B和△DOC中，∵AD∥BC，∴△A0D∽△COB，∴$\frac{AO}{OC}=\frac{OD}{OB}$．又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC．请你回答：该学生的解答是否正确？若正确，请在每一步后面写出依据；若不正确，请简要说明理由．
分析 由平行线得出△A0D∽△COB，得出对应边成比例$\frac{AO}{OC}=\frac{OD}{OB}$，在△A0B和△DOC中，虽然∠AOB=∠DOC，但是OA、OC不是△AOB的两边，OD、OB也不是△DOC的两边，即可得出结论．
解答 解：该学生的解答不正确；理由如下：
∵AD∥BC，
∴△A0D∽△COB，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{OD}{OB}$，
在△A0B和△DOC中，虽然∠AOB=∠DOC，
但是OA、OC不是△AOB的两边，OD、OB也不是△DOC的两边，
∴△A0B和△DOC不一定相似．
点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质；熟练掌握相似三角形的判定方法，正确理解两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
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如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，求证：AB2=AD2+DB2+2CD2．