Question

探索绕公共顶点的相似多边形的旋转：
（1）如图1，已知：等边△ABC和等边△ADE，根据

 

（指出三角形的全等或相似），可得CE与BD的大小关系为：

 

．
（2）如图2，正方形ABCD和正方形AEFG，求：

FC

EB

的值；
（3）如图3，矩形ABCD和矩形AEFG，AB=kBC，AE=kEF，求：

FC

EB

的值．（用k的代数式表示）

Answer 1

考点：相似形综合题,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,矩形的性质,正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：探究型

分析：（1）根据等边三角形的性质可得AE=AD，AC=AB，∠CAB=∠EAD，从而有∠CAE=∠BAD，则△AEC≌△ADB，就可得到CE=BD．
（2）根据正方形的性质可得AC=

2

AB，AF=

2

AE，∠CAB=∠FAE，从而得到

AC

AB

=

AF

AE

=

2

，∠CAF=∠BAE，就可得到△AFC∽△AEB，利用相似三角形的性质就可解决问题．
（3）连结FA、CA，根据矩形的性质可以证到△FEA∽△CBA，从而得到

AF

AC

=

AE

AB

，∠FAE=∠CAB，从而有∠FAC=∠EAB，就可得到△FAC∽△EAB，利用相似三角形的性质就可解决问题．

解答：解：（1）如图1，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AC=AB，∠CAB=∠EAD．
∴∠CAE=∠BAD．
在△AEC和△ADB中，

AE=AD ∠CAE=∠BAD AC=AB

．
∴△AEC≌△ADB．
∴CE=BD．
故答案分别为：△AEC≌△ADB、CE=BD．

（2）如图2，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AC=

2

AB，AF=

2

AE，∠CAB=∠FAE=45°．
∴

AC

AB

=

AF

AE

=

2

，∠CAF=∠BAE．
∴△AFC∽△AEB．
∴

FC

EB

=

AC

AB

=

2

．
∴

FC

EB

的值为

2

．

（3）连结FA、CA，如图3，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，AB=kBC，AE=kEF，
∴∠FEA=∠CBA=90°，

AE

EF

=

AB

BC

=k．
∴△FEA∽△CBA．
∴

AF

AC

=

AE

AB

，∠FAE=∠CAB．
∴∠FAC=∠EAB．
∴△FAC∽△EAB．
∴

FC

EB

=

AC

AB

∵AC=

AB2+BC2

=

k2BC2+BC2

=

k2+1

BC．
∴

FC

EB

=

k2+1 BC

kBC

=

k2+1

k

．
∴

FC

EB

的值为

k2+1

k

．

点评：本题以渐进式问题串的形式呈现，既考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，又能引领学生积极思考，积累丰富的解题经验，是一道好题．