Question

9．如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=$\frac{4}{5}$，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．
（1）当圆C经过点A时，求CP的长；
（2）如图2，连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；
（3）如图3，当BC=BG时，求圆C的半径长．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABH中，根据BH=AB•cosB，求出BH，AH，CH，再根据勾股定理即可求出AC．
（2）如图2中，若AP∥CE，APCE为平行四边形，首先证明四边形APCE是菱形，根据CP=CE=$\frac{CM}{cos∠ACB}$，求出CE，再根据勾股定理求出EF即可．
（3）如图3中，过点C作CN⊥AD于点N，设AQ⊥BC，在Rt△ECN中，求出EN即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，设⊙O的半径为r，

当点A在⊙C上时，点E和点A重合，
过点A作AH⊥BC于H，
∴BH=AB•cosB=4，
∴AH=3，CH=4，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5
∴此时CP=r=5；

（2）如图2中，若AP∥CE，APCE为平行四边形，

∵CE=CP，
∴四边形APCE是菱形，
连接AC、EP，
则AC⊥EP，
∴AM=CM=$\frac{5}{2}$，由（1）知，
AB=AC，则∠ACB=∠B，
∴CP=CE=$\frac{CM}{cos∠ACB}$=$\frac{25}{8}$，
∴EF=2$\sqrt{（\frac{25}{8}）^{2}-{3}^{2}}$=$\frac{7}{4}$；

（3）如图3中，过点C作CN⊥AD于点N，设AQ⊥BC，

∵$\frac{BQ}{AB}$=cosB，AB=5，
∴BQ=4，AN=QC=BC-BQ=4．
∵∠AGE=∠AEG，∵AD∥BC，
∴△GAE∽△GBC，
∴AE：CB=AG：BG，
即AE：8=AE：（AE+5），
解得：AE=3，EN=AN-AE=1，
∴CE=$\sqrt{E{N}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴⊙C的半径为$\sqrt{10}$．

点评 本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．