Question

8．如图，已知一次函数y₁=kx+b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y₂=$\frac{c}{x}$的图象相交于B（-1，5），C（$\frac{5}{2}$，d）两点，点M是y轴上一动点，点P（m，n）是一次函数y=kx+b的图象上的动点．
（1）求k、b的值；
（2）当MA+MC的值最小时，求点M的坐标；
（3）设-1$＜m＜\frac{3}{2}$，过点P作x轴的平行线与函数y₂=$\frac{c}{x}$的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点的坐标满足函数解析式，可得C点坐标，根据待定系数法求函数解析式，可得答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质，可得A点的对称点，根据两点之间线段最短，可得A′C与y轴的交点，根据自变量的值，可得相应的函数值；
（3）根据三角形的面积公式，可得关于n的二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）将点B 的坐标代入y₂=$\frac{c}{x}$，得5=$\frac{c}{-1}$，解得c=-5．                
∴反比例函数解析式为y₂=-$\frac{5}{x}$，
将点C（$\frac{5}{2}$，d）的坐标代入y₂=-$\frac{5}{x}$，得d=-$\frac{5}{\frac{5}{2}}$=-2，
∴C（$\frac{5}{2}$，-2），
∵一次函数y₁=kx+b的图象经过B（-1，5）、C（$\frac{5}{2}$，-2）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5=-k+b}\\{-2=\frac{5}{2}k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=3}\end{array}\right.$；
（2）如图：
；
一次函数的解析式为y=-2x+3，
当y=0时，-2x+3=0，解得x=$\frac{3}{2}$，即A（$\frac{3}{2}$，0）．
A点关于y轴的对称点是A′（-$\frac{3}{2}$，0），
A′C与y轴的交点是M点，
设A′C的函数解析式为y=kx+b，
将A′，C的坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}k+b=-2}\\{-\frac{3}{2}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
A′C的函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{4}$，
当x=0时，y=-$\frac{3}{4}$，
即M（0，-$\frac{3}{4}$）；
（3）存在，
令y₁=0，即-2x+3=0，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴A（$\frac{3}{2}$，0），
由题意，点P（m，n）是一次函数y₁=-2x+3的图象上的动点，且-1$＜m＜\frac{3}{2}$，
∴点P在线段AB上运动（不含A、B）
设P（$\frac{3-n}{2}$，n）   
∴DP∥x轴，且点D在y₂=-$\frac{5}{x}$的图象上，
∴y_D=y_P=n，x_D=-$\frac{5}{n}$，即D（-$\frac{5}{n}$，n）．    
∴△PAD的面积为S=$\frac{1}{2}$PD•OP=$\frac{1}{2}$•（$\frac{3-n}{2}$+$\frac{5}{n}$）•n=-$\frac{1}{4}$（n-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{49}{16}$．    
∴S关于n的二次函数的图象开口向下，有最大值，
又∵n=-2m+3，-1＜m＜$\frac{3}{2}$，得0＜n＜5，而0＜n=$\frac{3}{2}$＜5，
∴当n=$\frac{3}{2}$时，即P（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$）时，△PAD的面积S最大，为$\frac{49}{16}$．

点评 本题考查了反比例函数综合题，（1）利用图象上的点满足函数解析式得出C点坐标，又利用待定系数法求函数解析式；（2）利用了线段垂直平分线的性质，线段的性质；（3）利用了三角形的面积公式得出函数解析式，又利用二次函数的性质：顶点坐标是函数的最值．