Question

20．如图，AC⊥CB，AD为△ABC的中线，CG为高，DE⊥AD，BC=2AC，求证：AD=DF+DE．

Answer 1

分析 根据余角的性质得到∠CAD=∠BDE，∠ACF=∠B，由已知条件得到BD=AC=$\frac{1}{2}$BC，推出△ACF≌△BDE，根据全等三角形的性质得到AF=DE，于是得到结论．

解答 解：∵AC⊥CB，DE⊥AD，
∴∠CAD+∠ADC=∠ADC+∠BDE=90°，
∴∠CAD=∠BDE，
∵CG⊥AB，
∴∠ACF+∠BCF=∠B+∠BCG=90°，
∴∠ACF=∠B，
∵AD为△ABC的中线，BC=2AC，
∴BD=AC=$\frac{1}{2}$BC，
在△ACF与△BDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠B}\\{AC=BD}\\{∠CAF=∠BDE}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BDE，
∴AF=DE，
∵AD=AF+DF，
∴AD=DF+DE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，余角的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．