Question

14．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DF=3，DE=2．
①求$\frac{BE}{AD}$值；
②求∠FAB的度数．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，连接OD．根据切线的判定定理，只需证DF⊥OD即可；
（2）①连接BD．根据BE、DF两切线的性质证明△BDE∽△ABE；又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相等求得△ABE∽△AFD，所以△BDE∽△AFD；最后由相似三角形的对应边成比例求得$\frac{BE}{AD}$=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{2}{3}$；②连接OC，交AD于G，由①，设BE=2x，则AD=3x，由于△BDE∽△ABE，得到比例式求得AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，根据特殊角的三角函数值即可得到结果．

解答 （1）证明：如图，连结OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAF=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DAF=∠ODA，
∴AF∥OD，
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线，

（2）解：①连接BD，
∵直径AB，
∴∠ADB=90°，
∵圆O与BE相切，
∴∠ABE=90°，
∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°，
∴∠DAB=∠DBE，
∴∠DBE=∠FAD，
∵∠BDE=∠AFD=90°，
∴△BDE∽△AFD，
∴$\frac{BE}{AD}$=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{2}{3}$；
②连接OC，交AD于G，
由①，设BE=2x，则AD=3x，
∵△BDE∽△ABE，∴$\frac{BE}{AE}=\frac{DE}{BE}$，∴$\frac{2x}{3x+2}=\frac{2}{2x}$，
解得：x₁=2，x₂=-$\frac{1}{2}$（不合题意，舍去），
∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，
∴sin∠EAB=$\frac{1}{2}$，
∴∠EAB=30°，
∴∠FAB=60°．

点评 本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质．比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答．