Question

18．已知正方形ABCD，现将该正方形折叠，点A′与点A对应，点A′恰好落在射线DC上，设折痕所在直线交直线CD于点N，若AB=4，A′C=1，则DN的长为0.9．

Answer 1

分析 在Rt△ADA′中，由勾股定理求得AA′的长度，然后再证明△NOA′∽△ADA′，利用相似三角形的性质可得到$\frac{A′N}{AA′}=\frac{OA′}{DA′}$，从而可求得A′N=4.1，DN=A′D-A′N=5-4.1=0.9．

解答 解：根据题意画出图形．

在Rt△ADA′中，AA′=$\sqrt{A{D}^{2}+DA{′}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}}=\sqrt{41}$，
由轴对称的性质可知：OA=OA′=$\frac{1}{2}AA′$=$\frac{\sqrt{41}}{2}$，
在△NOA′和△ADA′中，∠D=∠NOA′，∠A=∠A′，
∴△NOA′∽△ADA′．
∴$\frac{A′N}{AA′}=\frac{OA′}{DA′}$．
∴$\frac{A′N}{\sqrt{41}}=\frac{\frac{\sqrt{41}}{2}}{5}$．
∴A′N=4.1
∴DN=A′D-A′N=5-4.1=0.9．
故答案为：0.9．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理和轴对称性质的应用，利用相似三角形的性质求得A′N的长度是解题的关键．