如图.已知抛物线y=$\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2}{3}$x-5与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.有一宽度为1.长度足够的矩形沿x轴方向平移.与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q.交直线AC于点M和点N.交x轴于点E和点F．(1)求点A.B.C的坐标,(2)当点M和点N都在线段AC上时.连接EN.如果点E的坐标为.求sin∠ANE的值,(3)在矩形平移过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图，已知抛物线y=$\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2}{3}$x-5与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线AC于点M和点N，交x轴于点E和点F．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）当点M和点N都在线段AC上时，连接EN，如果点E的坐标为（-4，0），求sin∠ANE的值；
（3）在矩形平移过程中，当以点P、Q、N、M为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．

分析（1）令y=0得到关于x的方程可求得点A和点B的横坐标，故此可求得点A和点B的坐标，令x=0，求得对应的y的值，可得到点C的坐标；
（2）作EG⊥AC，垂足为点G．先证明△AEG为等腰直角三角形，可得到FG的长，然后再求得FN的长，接下来依据勾股定理可求得EN的长，最后依据锐角三角函数的定义求解即可；
（3）设直线AC的函数表达式为y=kx+b．将点A和点C的坐标代入求得k、b的值可得到AC的解析式，当MN为边时，设点P（n，$\frac{1}{3}$n²+$\frac{2}{3}$n-5），则点Q（n+1，$\frac{1}{3}$n²+$\frac{2}{3}$n-6），点N（n+1，-n-6）．然后依据点P与点N的纵坐标之差为1列方程求解即可；当MN是平行四边形的对角线时，设点E的坐标为（m，0），则M（m，-m-5），N（m+1，-m-6），P（m，$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5），Q（m+1，$\frac{1}{3}$（m+1）²+$\frac{2}{3}$（m+1）-5）．最后依据PM=QN列方程求解即可．

解答解：（1）令y=0得：$\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2}{3}$x-5=0，解得x=-5或x=3．
∵点B在点A的右侧，
∴点A、B的坐标分为（-5，0）、（3，0）．
当x=0时，y=-5，
∴点C的坐标为（0，-5）．

（2）作EG⊥AC，垂足为点G．

∵点E的坐标为（-4，0），
∴OE=4．
∵OA=OC=5，
∴AE=1，∠OAC=45°．
∴AF=FN=2，GE=AE•sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△EFN中，依据勾股定理可知NE=$\sqrt{E{F}^{2}+F{N}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴sin∠ANE=$\frac{GE}{EN}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

（3）设直线AC的函数表达式为y=kx+b．
将点A和点C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-5k+b=0}\\{b=-5}\end{array}\right.$，解得k=-1，b=-5．
∴直线AC的函数表达式为y=-x-5．
①当MN为边时，如图2所示：

设点P（n，$\frac{1}{3}$n²+$\frac{2}{3}$n-5），则点Q（n+1，$\frac{1}{3}$n²+$\frac{2}{3}$n-6），点N（n+1，-n-6）．
∴$\frac{1}{3}$n²+$\frac{2}{3}$n-6=$\frac{1}{3}$（n+1）²+$\frac{2}{3}$（n+1）-5，解得n=-3．
∴点N的坐标为（-2，-3）．
当MN是平行四边形的对角线时，如图3所示：

设点E的坐标为（m，0），则M（m，-m-5），N（m+1，-m-6）．
∵PM=QN，P（m，$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5），Q（m+1，$\frac{1}{3}$（m+1）²+$\frac{2}{3}$（m+1）-5）．
∴-m-5-（$\frac{1}{3}$m2+$\frac{2}{3}$m-5）=$\frac{1}{3}$（m+1）²+$\frac{2}{3}$（m+1）-5-（-m-6），解得m=-3±$\sqrt{6}$．
∴点N的坐标为（-2$+\sqrt{6}$，-3-$\sqrt{6}$）或（-2-$\sqrt{6}$，-3+$\sqrt{6}$）．
综上所述，以点P、Q、N、M为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为（-2，-3）或（-2$+\sqrt{6}$，-3-$\sqrt{6}$）或（-2-$\sqrt{6}$，-3+$\sqrt{6}$）．