Question

如图，在△ABC中，AD为角平分线，CE⊥AD，F为BC中点．
求证：EF=

1

2

（AB-AC）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：证明题

分析：延长CE交AB于G，利用“角边角”证明△AGE和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=AC，CE=GE，然后求出EF是△BCG的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明即可．

解答：证明：如图，延长CE交AB于G，
∵AD为角平分线，
∴∠EAG=∠EAC，
∵CE⊥AD，
∴∠AEG=∠AEC=90°，
在△AGE和△ACE中，

∠EAG=∠EAC AE=AE ∠AEG=∠AEC=90°

，
∴△AGE≌△ACE（ASA），
∴AG=AC，CE=GE，
又∵F为BC中点，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF=

1

2

BG=

1

2

（AB-AG）=

1

2

（AB-AC），
即EF=

1

2

（AB-AC）．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形和EF所在是三角形是解题的关键，也是本题的难点．