Question

如图，A、B、C为⊙O上三点，∠BAC=120°，∠ABC=45°，M，N分别是BC，AC的中点，则OM：ON=

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,圆周角定理

专题：

分析：连结OA、OB、OC，如图，设⊙O的半径为R，先根据三角形内角和定理计算出∠ACB=15°，在根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，∠AOB=2∠ACB=30°，则△OAC为等腰直角三角形，∠BOC=120°，由M，N分别是BC，AC的中点，根据垂径定理得到OM⊥BC，ON⊥AC，然后根据等腰直角三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系得到ON=

2

2

R，OM=

1

2

R，最后求它们的比值．

解答：解：连结OA、OB、OC，如图，设⊙O的半径为R，
∵∠BAC=120°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=15°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，∠AOB=2∠ACB=30°，
∴△OAC为等腰直角三角形，∠BOC=90°+30°=120°，
∵M，N分别是BC，AC的中点，
∴OM⊥BC，ON⊥AC，
在Rt△OCN中，ON=

2

2

OC=

2

2

R，
∵OC=OB，∠BOC=120°，
∴∠OCB=∠OBC=30°
在Rt△BOM中，OM=

1

2

OB=

1

2

R，
∴OM：ON=

1

2

R：

2

2

R=1：

2

．
故答案为1：

2

．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．