Question

8．已知，抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8的图象经过△ABC的三个顶点，如图①所示，点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点．
（1）试判断△ABC的形状，并给予证明；
（2）如图①，连接AD，点G是抛物线上A，C之间的一动点，直线BG交AD于点P，连接PE，当BP+PE的值最小时，求出BP+PE的最小值，并求出此时点G的坐标；
（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8的对称轴上是否存在点F，使得以C，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线解析式可求得A、B、C三点的坐标，再利用勾股定理可求得AC、AB和BC的长，可判断△ABC的形状；
（2）由（1）可知AB=AC，则可知PB=PC，则可知PB+PE=PC+PE，则可知P、C、E三点共线，要使PC+PE最小，则PE⊥AB，即O与点E重合，可求得其最小值，过G作GH⊥x轴于点H，由△COB∽△AOP可求得OP，再由PO∥GH，根据平行线分线段成比例可求得GH，即求得G点纵坐标，再代入抛物线解析式可求得G点坐标；
（3）由题意可知CD只能为平行四边形的边，过D作DN⊥y轴于点N，设对称轴交x轴于点M，由条件可证得△CDN≌△FME，可求得FM的长，则可求得F点的坐标．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8中，令x=0可得y=8，
∴C（0，8），则OC=8，
令y=0，可得-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8=0，解得x=-6或x=4，
∴A（-6，0），B（4，0），
∴AO=6，BO=4，
∴AB=10，
在Rt△AOC中，可求得AC=10，在Rt△BOC中，可求得BC=4$\sqrt{5}$，
∴AB=AC≠BC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）由（1）可知△ABC为等腰三角形，且D为BC的中点，
∴AD为线段BC的垂直平分线，
∴BP=PC，
∴BP+PE=PC+PE，
要使其最小则P、C、E三点共线，
∴BP+PE=CE
要使CE最小，则CE⊥AB，此时点O与点E重合，
∴BP+PE=OC=8，即BP+PE的最小值为8，
如图1，过G作GH⊥x轴于点H，设G（x，-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8），则可知x＜0，
∴BH=4-x，GH=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8，

∵∠DPO+∠DBO=∠APO+∠DPO=180°，
∴∠APO=∠CBO，且∠AOP=∠COB=90°，
∴△AOP∽△COB，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{OP}{OB}$，即$\frac{6}{8}$=$\frac{OP}{4}$，解得OP=3，
∵GH∥OP，
∴$\frac{OP}{GH}$=$\frac{OB}{BH}$，即$\frac{3}{-\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x+8}$=$\frac{4}{4-x}$，解得x=4（舍去）或x=-$\frac{15}{4}$，
∴G点坐标为（-$\frac{15}{4}$，$\frac{93}{16}$）；
（3）由题意可知CD只能为平行四边形的边，过D作DN⊥y轴于点N，设对称轴交x轴于点M，如图2，

∵D为中点，DN∥OB，
∴N为OC中点，
∴CN=$\frac{1}{2}$OC=4，
由平行四边形的性质可知CD=EF，且CD∥EF，
∴∠FEM=∠OBC=∠CDN，
在△CND和△FME中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDN=∠FEM}\\{∠CND=∠FME=90°}\\{CD=EF}\end{array}\right.$
∴△CND≌△FME（AAS），
∴FM=CN=4，
∴F点的纵坐标为4或-4，
∵y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8=-$\frac{1}{3}$（x+1）²+$\frac{25}{3}$，
∴抛物线对称轴为x=-1，
∴F点的坐标为（-1，4）或（-1，-4），
综上可知存在满足条件的点F，其坐标为（-1，4）或（-1，-4）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质及方程思想等知识．在（1）中求得A、B、C三点的坐标是解题的关键，在（2）中确定出PB+PE最小时E点的位置是解题的关键，在（3）中求得F点到x轴的距离是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．