Question

【题目】已知⊙O及⊙O外一点P．

（1）方法证明：如何用直尺和圆规过点P作⊙O的一条切线呢？小明设计了如图①所示的方法：

①连接OP，以OP为直径作⊙O′；

②⊙O′与⊙O相交于点A，作直线PA．

则直线PA即为所作的过点P的⊙O的一条切线．

请证明小明作图方法的正确性．

（2）方法迁移：如图②，已知线段l，过点P作一条直线与⊙O相交，且该直线被⊙O所截得的弦长等于l．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）连接OA，只要证明OA⊥PA即可．

（2）在大圆⊙O上取点E，截取EF=线段l，交大圆⊙O于点F，作EF的垂直平分线OC，垂足为C，以点O为圆心，OC为半径作小圆⊙O，连接OP，以OP为直径作圆⊙A，交小圆⊙O于点D，连接OD、PD并延长到Q，与大圆⊙O交于点G、H，则OD⊥PD，垂足为D，由OD=OC，可得GH=EF=线段l．

（1）证明：如图①中，连接OA．

∵OP是直径，

∴∠OAP=90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是⊙O的切线．

（2）解：作法：在大圆⊙O上取点E，截取EF=线段l，交大圆⊙O于点F，

作EF的垂直平分线OC，垂足为C，

以点O为圆心，OC为半径作小圆⊙O，

连接OP，以OP为直径作圆⊙A，

交小圆⊙O于点D，

连接OD，PD并延长到Q，与大圆⊙O交于点G、H，

因为OP是⊙A的直径，

所以∠PDO=90°．则OD⊥PD，垂足为D，

∵OD=OC，

∴GH=EF=线段l．