Question

已知：如图，抛物线y＝ax²＋bx＋2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．
①当x取何值时，线段PQ长度取得最大值？其最大值是多少?
②是否存在点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）；（2）①x＝3，1；②P（3，0）或或．

试题分析：（1）由抛物线过A（3，0），B（6，0）即可根据待定系数法列方程组求解；
（2）①先求得抛物线与y轴的交点C的坐标，再求得直线BC的函数表达式，即可表示出线段PQ的长关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可；
②当时，点P与点A重合，则P（3，0） ；当时，点P与点C重合，则x＝0（不合题意）；当时，设PQ与轴交于点D，先根据同角的余角相等证得△ODQ∽△QDA，根据相似三角形的性质可得，即可得到关于x的方程，从而求得结果．
（1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0），
∴，解得：
∴抛物线函数表达式是；
（2）①∵当x＝0时，y＝2，
∴点C的坐标为（0，2）．
设直线BC的函数表达式是，
则有，解得，
∴直线BC的函数表达式是y＝ 
∵0＜x＜6，
∴PQ＝－（）＝＝．
∴当x＝3时，线段PQ的长度取得最大值1；
②当时，点P与点A重合，∴P（3，0）
当时，点P与点C重合，∴x＝0（不合题意）
当时，设PQ与轴交于点D．  
，
．
又
∴△ODQ∽△QDA．
∴，即．
∴，，
∴． 
∴．
∴或．
∴所求的点P的坐标是P（3，0）或或．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．