Question

14．定义{A，B，C}为函数y=ax²+bx+c的“特征数”．如：函数y=x²-2x-3的“特征数”是{1，-2，-3}，函数y=2x+4的“特征数”是{0，2，4}，函数y=-x的“特征数”是{0，-1，0}．
（1）将“特征数”是{0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2}的函数图象向下平移4个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2；
（2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与y轴交于A、B两点，与直线x=-2$\sqrt{3}$分别交于D、C两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形形状，并说明理由；
（3）若（2）中的四边形与“特征数”是{1，-2b，b²+1}的函数图象有交点，试求出实数 b 的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数“特征数”写出函数的解析式，再根据平移后一次函数的变化情况写出函数图象向下平移4个单位的新函数的解析式．
（2）根据平移得到AD∥BC，根据x=-2$\sqrt{3}$得到AB∥CD，把x=-2$\sqrt{3}$代入一次函数得到CD=4，由勾股定理可得BC=4，根据菱形的判定即可求解．
（3）二次函数为：y=x²-2bx+b²+1，化为顶点式为：y=（x-b）²+1，可知二次函数的图象不会经过点B和点C．设二次函数的图象与四边形有公共部分，分
当二次函数的图象经过点A时；当二次函数的图象经过点D时；求出实数b的取值范围．

解答 解：（1）∵函数y=x²-2x-3的“特征数”是{1，-2，-3}，函数y=2x+4的“特征数”是{0，2，4}，函数y=-x的“特征数”是{0，-1，0}，
∴“特征数”是{0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2}的函数解析式是：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2，
∵函数的图象向下平移4个单位，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2；
（2）四边形是菱形．
如图：

根据题意得：直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2向下平移4个单位得到直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2，
∴AD∥BC，AB=4，
∵x=-2$\sqrt{3}$，
∴AB∥CD．
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵当x=-2$\sqrt{3}$时，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（-2$\sqrt{3}$）+2=4，
即CD=4，
由勾股定理可得BC=4，
∴BC=CD=4，
∴四边形ABCD为菱形．
（3）二次函数为：y=x²-2bx+b²+1，化为顶点式为：y=（x-b）²+1，
∴二次函数的图象不会经过点B和点C．
设二次函数的图象与四边形有公共部分，
当二次函数的图象经过点A时，
将A（0，2），代入二次函数，
解得b=-1（不合题意，舍去）或b=1，
当二次函数的图象经过点D时，
将D（-2$\sqrt{3}$，4），代入二次函数，
解得b=-3$\sqrt{3}$或b=-$\sqrt{3}$（不合题意，舍去）．
所以实数b的取值范围：-3$\sqrt{3}$≤b≤1．
故答案为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2．

点评 此题主要考查了二次函数的综合应用，结合“特征数”的定义考查一次函数，二次函数的综合应用，综合性强，能力要求高．