Question

3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，如果直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，那么是否可求出△BEQ周长的最小值．

Answer 1

分析 由正方形的性质得出点B与点D关于直线AC对称，∠DAE=90°，得出DE的长即为DQ+QE的最小值，由勾股定理求出DE，即可得出结果．

解答 解：连接BD、DE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，∠DAE=90°，AB=AD=4，
∴DE的长即为DQ+QE的最小值，BE=1，
∵DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴△BEQ的最小值=5+1=6．

点评 本题考查了正方形的性质、最小值问题、勾股定理、轴对称的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．