Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=

1

3

，在下列结论中，唯一正确的是

 

．（请将正确的序号填在横线上）
①a＜0；②c＜-1； ③2a+3b=0；④b²-4ac＜0；⑤当x=

1

3

时，y的最小值为

9c-a

9

．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：根据二次函数的图象开口方向即可判断A；由二次函数的图象与y轴的交点位置即可判断B；把x=-1代入二次函数的解析式即可判断C；根据二次函数的对称轴即可求出D．

解答：解：①∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，故本选项错误；
②∵二次函数的图象与y轴的交点在点（0，-1）的上方，
∴c＞-1，故本选项错误；
③、∵二次函数的图象的对称轴是直线x=

1

3

，
∴-

b

2a

=

1

3

，
-3b=2a，
2a+3b=0，故本选项正确；
④∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，故本选项错误；
⑤∵二次函数的图象的对称轴是直线x=

1

3

，
∴-

b

2a

=

1

3

，
∴-3b=2a，b=-

2

3

a，
∴y_最小值=

1

9

a+

1

3

b+c=

1

9

a+

1

3

×（-

2

3

a）+c=

9c-a

9

；
即y的最小值为

9c-a

9

，故本选项正确；
故答案为：③⑤．

点评：本题考查了二次函数的图象和系数的关系，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意用了数形结合思想，二次函数的图象开口方向决定a的符号，二次函数的图形与y轴的交点位置决定c的符号，根据二次函数的图象的对称轴是直线x=

1

3

得出-

b

2a

=

1

3

，把x=

1

3

代入y=ax²+bx+c（a≠0）得出y=

1

9

a+

1

3

b+c等等．