Question

2．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度为每秒1个单位长度，当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动，设点Q运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
（2）试用含t的代数式分别表示NC与MN的长度．
（3）若设PMC的面积为S，试求出S关于t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）四边形PCDQ构成平行四边形，根据平行四边形的对边相等得到PC=DQ，列出方程4-t=t即解；
（2）依据题意易知四边形ABNQ是矩形，所以NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解，然后在直角三角形ABC中，由AB与BC的长根据勾股定理可求CA=5，从而得到cos∠NCM=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{5}$，而cos∠NCM也等于$\frac{NC}{MC}$，最后把表示出的CN代入即可表示出CM，再利用勾股定理求出MN，即可解答；
（3）根据题意求出CP=4-t，根据△PMC的面积为：S=$\frac{1}{2}CP•MN$，即可解答．

解答 解：（1）由于四边形PCDQ构成平行四边形，
∴PC=QD，即4-t=t，
解得t=2，
则当t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形；
（2）∵AQ=3-t，
∴CN=4-（3-t）=1+t，
在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²=3²+4²，
∴AC=5，
在Rt△MNC中，cos∠NCM=$\frac{NC}{MC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{5}$，CN=1+t，
∴CM=$\frac{CN}{cos∠NCM}$=$\frac{1+t}{\frac{4}{5}}$=$\frac{5+5t}{4}$；
∴MN=$\sqrt{C{M}^{2}-C{N}^{2}}$=$\frac{3}{4}$（1+t），
（3）CP=4-t，
则△PMC的面积为：S=$\frac{1}{2}CP•MN$=$\frac{1}{2}$（4-t）$•\frac{3}{4}$（1+t）=-$\frac{3}{8}{t}^{2}+\frac{9}{8}t+\frac{3}{2}$（0＜t≤3）．

点评 此题考查了直角梯形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质以及三角形的面积，是一道探究型的题，解答此类题时，可采用逆向思维的方法，视结论为题设，多角度，多侧面去探寻满足题意的值，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用，采用数形结合的思想来解决问题．