Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC，对角线AC⊥BC，若tan∠B=

4

3

，BA=10，则梯形ABCD的面积为（　　）

Answer 1

分析：过D作DE⊥AC于E，设AC=4x，BC=3x，利用勾股定理求出x的值，进而求出AC的长，根据等腰三角形的性质和锐角三角函数求出DE可得到△ADC的面积，则梯形的面积可化为△ADC和直角三角形ACB的面积和．

解答：解：过D作DE⊥AC于E，设AC=4x，BC=3x，
∵AC⊥BC，
∴∠ACD=90°，
∵tan∠B=

4

3

，BA=10，
∴（3x）²+（4x）²=10²，
∴x=2，
∴AC=8，BC=6，
∵AB∥CD，AD=DC，
∴AE=CE=4，∠DCE=∠CAB，
∴tan∠CAB=tan∠DCE=

BC

AC

=

DE

CE

=

3

4

，
∴DE=3，
∴S_△ADC=

1

2

×AC•DE=12，
∵S_△ACB=

1

2

×AC•BC=

1

2

×8×6=24，
∴梯形ABCD的面积为24+12=36．
故选C．

点评：本题主要考查对解直角三角形，直角梯形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．