Question

12．如图，已知一次函数y₁=kx+b的图象与反比例函数y₂=$\frac{4}{x}$的图象交于点A（-4，m），且与y轴交于点B，第一象限内点C在反比例函数y₂=$\frac{4}{x}$的图象上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B
（1）求m的值；
（2）求一次函数的表达式；
（3）根据图象，当y₁＜y₂＜0时，写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接将A点代入反比例函数解析式求出答案；
（2）直接利用切线的性质结合正方形的判定与性质得出C，B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式；
（3）利用A点坐标结合函数图象得出x的取值范围．

解答 解：（1）把点A（-4，m）的坐标代入y₂=$\frac{4}{x}$，
则m=$\frac{4}{-4}$=-1，
得m=-1；

（2）连接CB，CD，
∵⊙C与x轴，y轴相切于点D，B，
∴∠CBO=∠CDO=90°=∠BOD，BC=CD，
∴四边形BODC是正方形，
∴BO=OD=DC=CB，
∴设C（a，a）代入y₂=$\frac{4}{x}$得：a²=4，
∵a＞0，∴a=2，
∴C（2，2），B（0，2），
把A（-4，-1）和（0，2）的坐标代入y₁=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式为：y₁=$\frac{3}{4}$x+2；

（3）∵A（-4，-1），
∴当y₁＜y₂＜0时，x的取值范围是：x＜-4．

点评 此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确求出C，B点坐标是解题关键．