Question

11．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，链接BM

（1）菱形ABCO的边长5
（2）求直线AC的解析式；
（3）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，
①当0＜t＜$\frac{5}{2}$时，求S与t之间的函数关系式；
②在点P运动过程中，当S=3，请直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）Rt△AOH中利用勾股定理即可求得菱形的边长；
（2）根据（1）即可求的OC的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
（3）根据S_△ABC=S_△AMB+S_BMC求得M到直线BC的距离为h，然后分成P在AM上和在MC上两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解．

解答 解：（1）Rt△AOH中，
AO=$\sqrt{A{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
所以菱形边长为5；
故答案为：5；

（2）∵四边形ABCO是菱形，
∴OC=OA=AB=5，即C（5，0）．
设直线AC的解析式y=kx+b，函数图象过点A、C，得
$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{-3k+b=4}\\{\;}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
直线AC的解析式y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；

（3）设M到直线BC的距离为h，
当x=0时，y=$\frac{5}{2}$，即M（0，$\frac{5}{2}$），HM=HO-OM=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
由S_△ABC=S_△AMB+S_BMC=$\frac{1}{2}$AB•OH=$\frac{1}{2}$AB•HM+$\frac{1}{2}$BC•h，
$\frac{1}{2}$×5×4=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$×5h，解得h=$\frac{5}{2}$，
①当0＜t＜$\frac{5}{2}$时，BP=BA-AP=5-2t，HM=OH-OM=$\frac{3}{2}$，
S=$\frac{1}{2}$BP•HM=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$（5-2t）=-$\frac{3}{2}$t+$\frac{15}{4}$；
②当2.5＜t≤5时，BP=2t-5，h=$\frac{5}{2}$，
S=$\frac{1}{2}$BP•h=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$（2t-5）=$\frac{5}{2}$t-$\frac{25}{4}$，
把S=3代入①中的函数解析式得，3=-$\frac{3}{2}$t+$\frac{15}{4}$，
解得：t=$\frac{1}{2}$，
把S=3代入②的解析式得，3=$\frac{5}{2}$t-$\frac{25}{4}$，
解得：t=$\frac{37}{10}$．
∴t=$\frac{1}{2}$或$\frac{37}{10}$．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及菱形的性质，根据三角形的面积关系求得M到直线BC的距离h是关键．