Question

7．已知：如图，抛物线y=ax²+bx+3交x轴于A（-1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BD，求∠DBC的正切值；
（3）点P是线段CB上一动点，过点P作BC的垂线交直线BD于点E，直线PE交直线AC于Q，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作x轴的平行线与射线AC交于点G，交y轴于点H，当AQ=GQ时，求点M坐标．

Answer 1

分析 （1）将A，B两点的坐标代入y=ax²+bx+3，得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）利用配方法求出顶点D的坐标，再根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，然后利用三角函数定义求出∠DBC的正切值；
（3）作出图形，利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=3x+3，可设Q点坐标为（a，3a+3），由Q是AG的中点，得出点G纵坐标为6a+6，点M坐标为（4a+3，6a+6），根据点M是抛物线上的点即可求得a的值，进而求出点M坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3经过A（-1，0），B（3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC²=（0-3）²+（3-0）²=18，
CD²=（1-0）²+（4-3）²=2，
BD²=（1-3）²+（4-0）²=20，
∴BC²+CD²=BD²，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，
∴tan∠DBC=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}$=$\frac{1}{3}$；

（3）如图，

∵A（-1，0），C（0，3），B（3，0），
∴直线AC的解析式为y=3x+3，直线BC的解析式为y=-x+3．
∵直线PE，AC交于点Q，
∴可设Q点坐标为（a，3a+3）．
∵PQ⊥BC，
∴直线PQ的斜率为1，且直线PQ过点Q（a，3a+3），
∴直线PQ的解析式为y=x+2a+3，
∵AQ=GQ，A（-1，0），Q（a，3a+3），
∴点G纵坐标为6a+6，
∵点M是直线PE上的点，
∴点M坐标为（4a+3，6a+6），
∵点M是抛物线上点，
∴6a+6=-（4a+3）²+2（4a+3）+3，
解得：a=-$\frac{3}{8}$或a=1（不符合题意舍去），
∴点M坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，锐角三角函数定义，函数图象上点的坐标特征，互相垂直的两直线斜率之积为-1，一元二次方程的解法等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、方程思想是解题的关键．