Question

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OCBA，点A、C分别在x轴、y轴上，把正方形绕点O逆时针旋转α 度后得到正方形OC₁B₁A₁（ 0＜α＜90）﹒
（1）直线OB的表达式是y=x；
（2）在直线OB上找一点P（原点除外），使△PB₁A₁为等腰直角三角形，则点P的坐标是（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），（$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$），（$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 （1）先求出OA=OB=OC=BC=2，即可得出点B坐标，最后用待定系数法求出直线解析式；
（2）分三种情况用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算即可．

解答 解：（1）∵正方形的边长为2，
∴OA=AB=BC=OC=2，
∴B（2，2），
设直线OB解析式为y=kx，
∴2k=2，
∴k=1，
∴直线OB解析式为y=x，
故答案为：y=x；
（2）如图1，

由（1）知，∠AOB=∠COB=45°，
①当直角顶点为A₁时，点B₁在y轴上，
∴∠P₁B₁BA=45°，
∴B₁P₁⊥y轴，
∴B₁P₁=OB₁=OB=2$\sqrt{2}$，
∴P₁（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）；
②如图2，

当直角顶点为B₁时，点C₁，B₁，P₂在同一条直线上，
∴C₁P₂=B₁C₁+B₁P₂=B₁C₁+A₁B₁=4，
根据勾股定理得，OP₂=$\sqrt{O{{C}_{1}}^{2}+{C}_{1}{{P}_{2}}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
过点P₂作P₂⊥OA，
∵∠AOB=45°，
∴OH=P₂H=$\frac{O{P}_{2}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴P₂（$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$），
③如图3，

当直角顶点为P₃时，连接OB₁，∠OB₁P₃=∠OB₁A₁+∠A₁B₁P₃=90°，
在Rt△A₁B₁P₃中，B₁P₃=$\frac{{B}_{1}{A}_{1}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
在Rt△OB₁P₃中，OP₃=$\sqrt{O{{B}_{1}}^{2}+{B}_{1}{{P}_{3}}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
同②的方法得出P₃（$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$），
即：满足条件的P的坐标为（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），（$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$），（$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$），
故答案为：（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），（$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$），（$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．

点评 此题是正方形性质，主要考查了正方形的性质，待定系数法求直线解析式，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是求出OP，画出图形是解本题的难点．