题目内容
如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AC=CD=10cm，AB=8cm，点P由点C出发沿CA方向运动，同时点E由点A出发沿AB方向运动，点P与点E的运动速度都是1cm/s，当点E运动到点B，两点的运动停止．过点E作EF∥AD，分别交CD、AC于点F、点G，连结EP，设点E的运动时间是t（秒），回答以下问题：
（1）当t取何值时，EP∥BC？
（2）令△PEG的面积为S，当0＜t＜5时，求S关于t的函数关系式，若存在最大值，请求出此时的t值；
（3）是否存在t值，使△PEG为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，点E关于AC的对称点是点E′，当t= 时（直接写出相应的t值），PE′⊥EF．
（1）当t取何值时，EP∥BC？
（2）令△PEG的面积为S，当0＜t＜5时，求S关于t的函数关系式，若存在最大值，请求出此时的t值；
（3）是否存在t值，使△PEG为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，点E关于AC的对称点是点E′，当t=
考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）当EP∥BC时，就有△AEP∽△ABC，由相似三角形的性质就可以得出
=
，进而就可以求出结论；
（2）过点E作EH⊥AC于点H，AM⊥CD于M，就可以得出四边形ABCM是矩形，就有∠ACM=∠BAC，得出sin∠ACM=sin∠BAC．就可以表示出EH的值，再由三角形的面积公式就可以求出解析式，由二次函数的解析式的性质就可以求出最大值时t的值；
（3）分情况讨论，当当0＜t＜5时，只可能EG=PG，过点A作AM⊥CD于点M，由平行四边形的性质就可以求出△AEG∽△CAD，就可以得出AE=AG，由勾股定理的性质就可以求出AD的值，进而求出EG而得出PG，根据PG=10-2t建立方程求出其解即可；当5＜t≤8时，分三种情况GP=EG，EG=EP，GP=EP由等腰三角形的性质就可以分别求出结论；
（4）延长PE′交AD于I，作PQ⊥AB于Q，作EN⊥AC于N，就可以表示出PE，由△AE′I∽△PEQ，就有
=
，可以分别求出AI，PQ，进而由勾股定理建立方程求出其解即可．
| AE |
| AB |
| AP |
| AC |
（2）过点E作EH⊥AC于点H，AM⊥CD于M，就可以得出四边形ABCM是矩形，就有∠ACM=∠BAC，得出sin∠ACM=sin∠BAC．就可以表示出EH的值，再由三角形的面积公式就可以求出解析式，由二次函数的解析式的性质就可以求出最大值时t的值；
（3）分情况讨论，当当0＜t＜5时，只可能EG=PG，过点A作AM⊥CD于点M，由平行四边形的性质就可以求出△AEG∽△CAD，就可以得出AE=AG，由勾股定理的性质就可以求出AD的值，进而求出EG而得出PG，根据PG=10-2t建立方程求出其解即可；当5＜t≤8时，分三种情况GP=EG，EG=EP，GP=EP由等腰三角形的性质就可以分别求出结论；
（4）延长PE′交AD于I，作PQ⊥AB于Q，作EN⊥AC于N，就可以表示出PE，由△AE′I∽△PEQ，就有
| AI |
| PQ |
| AE′ |
| PE |
解答：解：（1）如图1，∵AE=PC=t，AC=10，
∴AP=10-t．
∵EP∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴
=
，
∴
=
，
∴t=
．
答：t=
时，EP∥BC；
（2）过点E作EH⊥AC于点H，AM⊥CD于M，
∴∠EHA=∠AMC=90°．
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°，∠ACM=∠BAC．
∵∠ABC=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠B=∠BCD=∠AMC=90°，
∴四边形ABCM是矩形，
∴BC=AM．AB=CM，
在Rt△ABC中，AC=10，AB=8，由勾股定理，得
BC=6．
∴AM=6，
∴sin∠ACM=
=
，cos∠ACM=
，
∴sin∠BAC=
=
．cos∠BAC=
．
∵AE=t，
∴EH=
t．
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D．
∵EF∥AD，
∴∠CGF=∠CAD，∠CFG=∠D，
∴∠CGF=∠CFG．
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠CFG．
∴∠AEG=∠CGF．
∵∠AGE=∠CGF，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AE=AG=t．
∴PG=10-2t．
S=
×
t（10-2t）=-
t2+3t．
∴S=-
（t-2.5）2+
，
∴当t=2.5时，S可取到最大值为
；
（3）情况一：当0＜t＜5时，如图3，只有EG=PG．
过点A作AM⊥CD于点M，
∴∠AMD=∠AMC=90°．
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°，∠ACM=∠BAC．
∵∠ABC=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠B=∠BCD=∠AMC=90°，
∴四边形ABCM是矩形，
∴BC=AM．AB=CM，
∵AC=CD=10cm，AB=8cm，
∴CM=8，
∴MD=2．
在Rt△ABC中，AC=10，AB=8，由勾股定理，得
BC=6．
∴AM=6，
在Rt△AMD中，由勾股定理，得
AD=2
．
∵AB∥CD，EF∥AD，
∴四边形EFDA是平行四边形，∠EAG=∠ACD．
∴∠AEG=∠D，
∴△AEG∽△CAD，
∴
=
．
∴
=
，
∴EG=
t．
∵EG=PG，
∴PG=
t．
∴2t+
t=10，
∴t=
；
情况二：当5＜t≤8时，PG=2t-10，EG=
t，
存在三种可能：
①如图4，当PE=GE时，作EN⊥AC于N，
∴GN=PN=
PG=t-5．∠ENP=90°．
∴EN=
t，GE2=EN2+GN2，
∴（
t）2=（
t）2+（t-5）2，
解得：t1=
＜5（舍去），t2=
；
②如图5，当GP=GE时，
t=2t-10，
解得：t=
；
③如图5，当GP=PE时，
∴PE=GP=2t-10，PN=
t-（10-t）=
t-10，EN=
t，
∴EN2+PN2=PE2，
∴（
t）2+（
t-10）2=（2t-10）2，
解得：t1=0（舍去），t2=10（舍去）．
综上所述，t=
，
或
时，△PEG为等腰三角形；
（4）如图6，延长PE′交AD于I，作PQ⊥AB于Q，作EN⊥AC于N，
∴∠ANE=∠PNE=∠PQE=90°．
∵PE′⊥EF，
∴∠PME=90°．
∵EF∥AD，
∴∠PME=∠AIE′=90°．
∵△AEP与△AE′P关于AC成轴对称，
∴△AEP≌△AE′P，
∴∠AEP=∠AE′P，PE=PE′，AE=AE′=t．
∴∠PEQ=∠AE′I，
∴△AE′I∽△PEQ，
∴
=
．
∵PC=t，
∴PA=10-t．EN=
t，AN=
t，
∴PQ=6-
t，AQ=8-
t，PN=10-
t，
∴QE=8-
t．
在Rt△PNE中，由勾股定理，得
PE2=
t2-36t+100，
∴PE=
．
∴PE′=
．
∴
=
，
∴AI=
（10-t）．
∴PI=
，E′I=
．
∴PE′=PI-E′I，
∴
=
-
．
t2-20t+20=-2
•
．
∴t=
．
故答案为：
．
∴AP=10-t．
∵EP∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴
| AE |
| AB |
| AP |
| AC |
∴
| t |
| 8 |
| 10-t |
| 10 |
∴t=
| 40 |
| 9 |
答：t=
| 40 |
| 9 |
（2）过点E作EH⊥AC于点H，AM⊥CD于M，
∴∠EHA=∠AMC=90°．
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°，∠ACM=∠BAC．
∵∠ABC=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠B=∠BCD=∠AMC=90°，
∴四边形ABCM是矩形，
∴BC=AM．AB=CM，
在Rt△ABC中，AC=10，AB=8，由勾股定理，得
BC=6．
∴AM=6，
∴sin∠ACM=
| AM |
| AC |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴sin∠BAC=
| EH |
| AE |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∵AE=t，
∴EH=
| 3 |
| 5 |
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D．
∵EF∥AD，
∴∠CGF=∠CAD，∠CFG=∠D，
∴∠CGF=∠CFG．
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠CFG．
∴∠AEG=∠CGF．
∵∠AGE=∠CGF，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AE=AG=t．
∴PG=10-2t．
S=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴S=-
| 3 |
| 5 |
| 15 |
| 4 |
∴当t=2.5时，S可取到最大值为
| 15 |
| 4 |
（3）情况一：当0＜t＜5时，如图3，只有EG=PG．
过点A作AM⊥CD于点M，
∴∠AMD=∠AMC=90°．
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°，∠ACM=∠BAC．
∵∠ABC=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠B=∠BCD=∠AMC=90°，
∴四边形ABCM是矩形，
∴BC=AM．AB=CM，
∵AC=CD=10cm，AB=8cm，
∴CM=8，
∴MD=2．
在Rt△ABC中，AC=10，AB=8，由勾股定理，得
BC=6．
∴AM=6，
在Rt△AMD中，由勾股定理，得
AD=2
| 10 |
∵AB∥CD，EF∥AD，
∴四边形EFDA是平行四边形，∠EAG=∠ACD．
∴∠AEG=∠D，
∴△AEG∽△CAD，
∴
| EG |
| AD |
| AE |
| AC |
∴
| EG | ||
2
|
| t |
| 10 |
∴EG=
| ||
| 5 |
∵EG=PG，
∴PG=
| ||
| 5 |
∴2t+
| ||
| 5 |
∴t=
50-5
| ||
| 9 |
情况二：当5＜t≤8时，PG=2t-10，EG=
| ||
| 5 |
存在三种可能：
①如图4，当PE=GE时，作EN⊥AC于N，
∴GN=PN=
| 1 |
| 2 |
∴EN=
| 3 |
| 5 |
∴（
| ||
| 5 |
| 3 |
| 5 |
解得：t1=
| 25 |
| 6 |
| 25 |
| 4 |
②如图5，当GP=GE时，
| ||
| 5 |
解得：t=
50+5
| ||
| 9 |
③如图5，当GP=PE时，
∴PE=GP=2t-10，PN=
| 4 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴EN2+PN2=PE2，
∴（
| 3 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
解得：t1=0（舍去），t2=10（舍去）．
综上所述，t=
50-5
| ||
| 9 |
50+5
| ||
| 9 |
| 25 |
| 4 |
（4）如图6，延长PE′交AD于I，作PQ⊥AB于Q，作EN⊥AC于N，
∴∠ANE=∠PNE=∠PQE=90°．
∵PE′⊥EF，
∴∠PME=90°．
∵EF∥AD，
∴∠PME=∠AIE′=90°．
∵△AEP与△AE′P关于AC成轴对称，
∴△AEP≌△AE′P，
∴∠AEP=∠AE′P，PE=PE′，AE=AE′=t．
∴∠PEQ=∠AE′I，
∴△AE′I∽△PEQ，
∴
| AI |
| PQ |
| AE′ |
| PE |
∵PC=t，
∴PA=10-t．EN=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴PQ=6-
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
∴QE=8-
| 9 |
| 5 |
在Rt△PNE中，由勾股定理，得
PE2=
| 18 |
| 5 |
∴PE=
|
∴PE′=
|
∴
| AI | ||
6-
|
| t | ||||
|
∴AI=
| ||
| 10 |
∴PI=
|
|
∴PE′=PI-E′I，
∴
|
|
|
| 9 |
| 5 |
|
|
∴t=
| 25 |
| 9 |
故答案为：
| 25 |
| 9 |
点评：本题考查了锐角三角函数值的运用，勾股定理的运用，相似三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，二次函数的性质的运用，二次函数的顶点式的运用，轴对称的性质的运用，解答时运用勾股定理建立方程求解是关键．
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