Question

5．如图，AB是⊙O的直径，弦BC长为$4\sqrt{2}$，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求AD的长．
（2）求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后由勾股定理求得AB的长，又由∠ACB的平分线交⊙O于点D，易得△ABD是等腰直角三角形，则可求得答案；
（2）过点D分别作DM⊥CA于M，DN⊥CB于N，可证DM=DN，再证Rt△DAM≌Rt△DBN，得AM=BN，易证正方形DMCB，故CM=CN，然后设AM=x，可得方程$4\sqrt{2}-x=2+x$，继而求得答案．

解答 解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
∴$AB=\sqrt{A{C^2}+B{C^2}}=\sqrt{{2^2}+{{（4\sqrt{2}）}^2}}=6$，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DCA=∠BCD，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB=3\sqrt{2}$，

（2）过点D分别作DM⊥CA于M，DN⊥CB于N，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴DM=DN，
在Rt△DAM和Rt△DBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DN}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴Rt△DAM≌Rt△DBN（HL）），
∴AM=BN，
∴四边形BDMC是正方形DMCB，
∴CM=CN，
设AM=x，
则$4\sqrt{2}-x=2+x$，
解得：$x=2\sqrt{2}-1$，
∴$CD=\sqrt{2}MC=4+\sqrt{2}$．

点评 此题考查了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及正方形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．