Question

18．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OF⊥AC于点O，交AB于E，交CB的延长线于点F，求证：AO²=OE•OF．

Answer 1

分析 根据矩形的性质，再根据相似三角形的对应边成比例，求解即可．

解答 解：∵ABCD为矩形，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵OF⊥AC，AB⊥FC，
∴∠F+∠FEB=∠AEO+∠EAO=90°．
∵∠FEB=∠AEO，
∴∠F=∠BAO=∠OBE．
∵∠FOB=∠BOF，
∴△OBE∽△OFB，
∴$\frac{OB}{OE}$=$\frac{OF}{OB}$，
∴OB²=OE•OF，
∴AO²=OE•OF．

点评 此题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，关键是先由矩形的性质及已知得出∠F=∠BAO=∠OBE，再证明三角形相似．