Question

方程x²+4x+k=0有两个实根x₁和x₂，且（x₁²+4x₁）（x₂²+4x₂）=25，则k的值是（　　）

• A、±5
• B、5
• C、-5
• D、不存在这样的k值

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：计算题

分析：先由根的判别式大于等于0，列出关于k的不等式，求出k的范围，再利用根与系数的关系表示出x₁+x₂=-4，x₁•x₂=k，然后利用多项式的乘法法则化简已知的等式，变形得到关于x₁+x₂与x₁•x₂的式子，把x₁+x₂与x₁•x₂的值代入即可求出值．

解答：解：∵方程x²+4x+k=0有两个实根x₁和x₂，
∴△=b²-4ac=14-4k≥0，即k≤3.5，
则利用根与系数的关系得：x₁+x₂=-4，x₁•x₂=k，
又（x₁²+4x₁）（x₂²+4x₂）
=（x₁x₂）²+4x₁x₂（x₁+x₂）+16x₁x₂
=k²-16k+16k
=k²=25，
解得：k=5（舍去），或k=-5，
则k=-5．
故选C

点评：此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式的运用，若一元二次方程有解，即根的判别式大于等于0时，设方程的两个根分别为x₁和x₂，则有x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

，熟练掌握此关系是解本题的关键，此外得出k的值后，要根据根的判别式大于等于0对k的值作出取舍．