Question

研究发现，二次函数y=ax²（a≠0）图象上任何一点到定点（0，

1

4a

）和到定直线y=-

1

4a

的距离相等．我们把定点（0，

1

4a

）叫做抛物线y=ax²的焦点，定直线y=-

1

4a

叫做抛物线y=ax²的准线．
（1）写出函数y=

1

4

x2图象的焦点坐标和准线方程；
（2）等边三角形OAB的三个顶点都在二次函数y=

1

4

x2图象上，O为坐标原点，求等边三角形的边长；
（3）M为抛物线y=

1

4

x2上的一个动点，F为抛物线y=

1

4

x2的焦点，P（1，3）为定点，求MP+MF的最小值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）根据焦点坐标为（0，

1

4a

），准线方程为y=-

1

4a

，即可得出答案．
（2）根据题意可设A（x，y），B（-x，y），从而根据等边三角形及抛物线的性质可得出∠AOE=30°，继而可得出|y|=

3

|x|，代入可得出x和y的值，也可求出等边三角形的边长．
（3）点P到点F的距离等于点P到准线的距离，从而根据垂线段最短的知识可找到点M的位置，结合图形可得出这个最小值．

解答：解：（1）由题意得，焦点坐标为：（0，1），准线方程为：y=-1；

（2）
设A（x，y），B（-x，y），
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOE=

1

2

∠AOB=30°，
∴y=

3

x，
将点A坐标（x，y）=（x，

3

x）代入函数解析式，可得

3

x=

1

4

x²，
解得：x=4

3

，
故可得点A坐标为（4

3

，12），三角形的边长=OA=

122+(4 3 )2

=8

3

．

（3）
过点M作MN⊥准线，交准线于点N，
则由题意可得，MN=MF，
故可得：MP+MF=MP+MN，
结合图形可得过点P作PE⊥准线，交准线于点E，则PE于抛物线的交点M'能满足MP+MF最小，
此时M'P+M'F=PE=4．

点评：此题考查了二次函数的综合题，解答本题的关键是仔细审题得出函数的准线与焦点，综合性较强，注意解答过程中将所学知识融会贯通．