Question

14．二次函数y=ax²+bx的图象如图所示，求证：一元二次方程ax²+bx-m-1=0必有两个不相等的实数根．

Answer 1

分析 由图象可知：对于一元二次方程ax²+bx=c（c为任意实数）：①当c=m时，有两个相等实根；②c＞m时，有两个不相等的实数根；③c＜m时，无实根．

解答 证明：由图可知：顶点坐标为（m，1），开口向上，
即一元二次方程ax²+bx=m有两个相等的实根，
∵m+1＞m，
∴一元二次方程ax²+bx=m+1有两个不相等的实根，
即一元二次方程ax²+bx-m-1=0必有两个不相等的实数根．

点评 本题考查了抛物线与一元二次方程根的关系，明确二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根；对于一元二次方程ax²+bx-m-1=0的根的情况，就是要看二次函数y=ax²+bx，当y=m+1时所对应的x的值有几个，或者可以理解为直线y=m+1与二次函数y=ax²+bx图象交点的个数．