Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，对角线BD平分∠ABC，cosC=

4

5

．
（1）求边BC的长；
（2）过点A作AE⊥BD，垂足为点E，求cot∠DAE的值．

Answer 1

分析：（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H．在Rt△CDH中，由cosC=

4

5

，可求得CH，再根据对角线和平行线，得∠ABD=∠ADB．则AD=AB=5．即可求出BC；
（2）在Rt△CDH中，可求得DH，进而得出BH，将角∠DAE转化成∠BDH，即可得出答案．

解答：解：（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H．
在Rt△CDH中，由∠CHD=90°，CD=5，cosC=

4

5

，
得CH=CD•cosC=5×

4

5

=4．（1分）
∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．（1分）
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC．
∴∠ABD=∠ADB．即得AD=AB=5．（2分）
于是，由等腰梯形ABCD，可知BC=AD+2CH=13．（1分）

（2）∵AE⊥BD，DH⊥BC，
∴∠BHD=∠AED=90°．
∵∠ADB=∠DBC，
∴∠DAE=∠BDH．（1分）
在Rt△CDH中，DH=

CD2-CH2

=

52-42

=3．（1分）
在Rt△BDH中，BH=BC-CH=13-4=9．（1分）
∴cot∠BDH=

DH

BH

=

3

9

=

1

3

．（1分）
∴cot∠DAE=cot∠BDH=

1

3

．（1分）

点评：本题考查了等腰梯形的性质、勾股定理以及解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．