题目内容
15．已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=-2．（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）求△ABC的面积；
（4）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．
分析 （1）先利用因式分解法解方程可确定B点和C点坐标，再利用抛物线的对称性可确定A点坐标；
（2）利用交点式求抛物线解析式；
（3）根据三角形面积公式求解；
（4）先利用待定系数法求出直线AC和BC的解析式分别为y=$\frac{4}{3}$x+8，y=-4x+8，再利用直线平行的问题可表示出直线EF的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$m+8，则通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}m+8}\\{y=-4x+8}\end{array}\right.$得F（$\frac{m}{4}$，-m+8），然后根据三角形面积公式，利用S=S△ABC-S△ACE-S△BEF求解即可．
解答 解：（1）解方程x2-10x+16=0得x1=2，x2=8，则OB=2，OC=8，
∴B（2，0），C（0，8），
∵抛物线的对称轴是直线x=-2，
∴A（-6，0）；
（2）设抛物线解析式为y=a（x+6）（x-2），
把C（0，8）代入得a•6•（-2）=8，解得a=-$\frac{2}{3}$，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{2}{3}$（x+6）（x-2），即y=-$\frac{2}{3}$x2-$\frac{8}{3}$x+8；
（3）S△ABC=$\frac{1}{2}$×（2+6）×8=32；
（4）如图，设直线AC的解析式为y=kx+n，
把A（-6，0），C（0，8）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-6k+n=0}\\{n=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{n=8}\end{array}\right.$，
所以直线AC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+8，
同样可求出BC的解析式为y=-4x+8，
∵AE=m，
∴E点坐标为（m-6，0），
∵EF∥AC，
∴直线EF的解析式可设为y=$\frac{4}{3}$x+p，
把E（m-6，0）代入得$\frac{4}{3}$（m-6）+p=0，解得p=-$\frac{4}{3}$m+8，
即直线EF的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$m+8，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}m+8}\\{y=-4x+8}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m}{4}}\\{y=-m+8}\end{array}\right.$，则F（$\frac{m}{4}$，-m+8），
∴S=S△ABC-S△ACE-S△BEF
=32-$\frac{1}{2}$•m•8-$\frac{1}{2}$（8-m）•（-m+8）
=-$\frac{1}{2}$m2+4m（0＜m＜8）．
点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质；会运用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；会求两直线的交点坐标；记住三角形的面积公式．
如图，将?ABCD纸片折叠，使得点C落在点A的位置，折痕为EF，连接CE，求证：四边形AFCE是平行四边形．
已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
四边形ABCD中，BC⊥CD，∠BCA=60°，∠CDA=135°，BC=10．S△ABC=20$\sqrt{3}$．求AD边的长．
如图，△ABC三边的中线BE，CF相交于点G，若S△ABC=15，则图中阴影部分面积是5．