Question

5．如图，一次函数y=$\frac{1}{2}$x+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象的一个交点为A（2，m）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求当x满足什么范围时，$\frac{1}{2}$x+2＜$\frac{k}{x}$；
（3）过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，如果点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于6，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先将点A（2，m）代入反比例函数y=$\frac{1}{2}$x+2求得A的坐标，然后代入y=$\frac{k}{x}$，求得k的值即可；
（2）首先求出两函数交点的坐标，再结合反比例函数和一次函数的图象即可求出$\frac{1}{2}$x+2＜$\frac{k}{x}$的解集；
（3）可求得点B的坐标，设P（x，y），由S_△PBC=6，即可求得x，y的值．

解答 解：（1）∵一次函数y=$\frac{1}{2}$x+2的图象经过点A（2，m），
∴m=3．
∴点A的坐标为（2，3）．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（2，3），
∴k=6，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{6}{x}$．
（2）联立反比例函数和一次函数的解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{-1}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{2}$x+2＜$\frac{k}{x}$的解集为：x＜-6或0＜x＜2；
（3）令$\frac{1}{2}$x+2=0，解得x=-4，即B（-4，0），
∵AC⊥x轴，
∴C（2，0）．
∴BC=6．
设P（x，y），
∵S_△PBC=$\frac{1}{2}$•BC•|y|=6，
∴y₁=2或y₂=-2．
分别代入y=$\frac{6}{x}$中，
得x₁=3或x₂=-3．
∴P（3，2）或P（-3，-2）．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用待定系数法求解析式是解此题的关键．