Question

12．已知直线y=kx（k≠0）与抛物线y=ax²（a≠0）及y=-ax²分别相交于点A和B（不与原点重合），试证明A，B两点关于原点对称．

Answer 1

分析 首先把直线y=kx（k≠0）与抛物线y=ax²（a≠0）及y=-ax²分别建立方程组求得交点坐标，进一步比较得出答案即可．

解答 证明：∵直线y=kx（k≠0）与抛物线y=ax²（a≠0）及y=-ax²分别相交于点A和B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-a{x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{k}{a}}\\{y=\frac{{k}^{2}}{a}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{k}{a}}\\{y=-\frac{{k}^{2}}{a}}\end{array}\right.$，
∴A（$\frac{k}{a}$，$\frac{{k}^{2}}{a}$），B（-$\frac{k}{a}$，-$\frac{{k}^{2}}{a}$），
∴A，B两点关于原点对称．

点评 此题考查了二次函数的性质，一次函数与二次函数的交点问题，建立方程求得交点坐标是解决问题的关键，还考查了关于原点对称点的特点．