题目内容

已知边长为4的正方形ABCD，顶点A与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点C，动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC-CB-BA方向顺时针折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．
（1）求出该反比例函数解析式；
（2）连接PD，当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时，求点Q的坐标；
（3）用含t的代数式表示以点Q、P、D为顶点的三角形的面积s，并指出相应t的取值．
考点：反比例函数综合题
专题：
分析：（1）根据正方形ABCD的边长为4，可得C的坐标为（4，4），再用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）分点Q在CD，BC，AB边上，根据全等三角形的判定和性质求得点Q的坐标；
（3）分点Q在CD，BC，AB边上，由三角形面积公式和组合图形的面积计算即可求解．
解答：解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，
∴C的坐标为（4，4），
设反比例解析式为y=
k
x

将C的坐标代入解析式得：k=16，则反比例解析式为y=
16
x
； （2分）
（2）当Q在DC上时，如图所示：

此时△APD≌△CQB，
∴AP=CQ，即t=4-4t，解得t=
4
5
，
则DQ=4t=
16
5
，即Q1（
16
5
，4）；
当Q在BC边上时，有两个位置，如图所示：

若Q在上边，则△QCD≌△PAD，
∴AP=QC，即4t-4=t，解得t=
4
3
，
则QB=8-4t=
8
3
，此时Q2（4，
8
3
）；
若Q在下边，则△APD≌△BQA，
则AP=BQ，即8-4t=t，解得t=
8
5
，
则QB=
8
5
，即Q3（4，
8
5
）；
当Q在AB边上时，如图所示：

此时△APD≌△QBC，
∴AP=BQ，即4t-8=t，解得t=
8
3
，
因为0≤t≤
12
5
，所以舍去．
综上所述Q1（
16
5
，4）； Q2（4，
8
3
），Q3（4，
8
5
）
（3）当0＜t≤1时，Q在DC上，DQ=4t，则s=
1
2
×4t×4=8t；
当1≤t≤2时，Q在BC上，则BP=4-t，CQ=4t-4，AP=t，
则s=S正方形ABCD-S△APD-S△BPQ-S△CDQ=16-
1
2
AP•AD-
1
2
PB•BQ-
1
2
DC•CQ=16-
1
2
t×4-
1
2
（4-t）•【4-（4t-4）】-
1
2
×4（4t-4）═-2t2+2t+8；
当2≤t≤
12
5
时，Q在AB上，PQ=12-5t，则s=
1
2
×4×（12-5t），即s=-10t+24．
总之，s1=8t（0＜t≤1）；
s2=-2t2+2t+8（1≤t≤2）；
s3=-10t+24（2≤t≤
12
5
）
点评：本题考查了正方形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，三角形的面积计算，分类思想，综合性较强，有一定的难度．
练习册系列答案
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k
x
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x+5
2
＞x
x-3(x-1)≤5
．

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