Question

20．已知，Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是直线AC上的动点，过点D作BC⊥DE交直线BC于点F，连接EC，且EC=ED，DC=2AB，将线段DE绕点E旋转90°得到线段GE，连结BG．
（1）如图1，当点D在线段AC上时，证明：四边形BCEG为菱形：
（2）如图2．当点D在线段AC的延长线上时，（1）的结论：四边形BCEG为菱形是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过E作EH⊥CD于H，根据等腰三角形的性质得到DH=$\frac{1}{2}$CD，等量代换得到AB=DH，根据余角的性质得到∠ACB=∠DEH，根据全等三角形的性质得到BC=DE=CE，根据旋转的性质得到∠GED=90°，GE=DE，即可得到结论．
（2）过E作EH⊥CD于H，根据等腰三角形的性质得到DH=$\frac{1}{2}$CD，等量代换得到AB=DH，根据余角的性质得到∠ACB=∠DEH，根据全等三角形的性质得到BC=DE=CE，根据旋转的性质得到∠GED=90°，GE=DE，即可得到结论．

解答 解：（1）过E作EH⊥CD于H，
∵EC=ED，
∴DH=$\frac{1}{2}$CD，
∵DC=2AB，
∴AB=DH，
∵BC⊥DE，
∴∠DEH+∠EDH=∠ACB+∠CDF=90°，
∴∠ACB=∠DEH，
在△ABC与△HDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠DEH}\\{∠A=∠DHE}\\{AB=DH}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△HDE，
∴BC=DE=CE，
∵将线段DE绕点E旋转90°得到线段GE，
∴∠GED=90°，GE=DE，
∴GE∥BC，GE=BC，
∴四边形BCEG是平行四边形，
∵BC=CE，
∴四边形BCEG为菱形；

（2）过E作EH⊥CD于H，
∵EC=ED，
∴DH=$\frac{1}{2}$CD，
∵DC=2AB，
∴AB=DH，
∵BC⊥DE，
∴∠DEH+∠EDH=∠DCF+∠CDF=90°，
∴∠ACB=∠DEH=∠DCF，
在△ABC与△HDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠DEH}\\{∠A=∠DHE}\\{AB=DH}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△HDE，
∴BC=DE=CE，
∵将线段DE绕点E旋转90°得到线段GE，
∴∠GED=90°，GE=DE，
∴GE∥BC，GE=BC，
∴四边形BCEG是平行四边形，
∵BC=CE，
∴四边形BCEG为菱形．

点评 本题考查了旋转的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．