Question

17．如图1，在正方形ABCD中，O是对角线AC上一点，点E在BC的延长线上，且OE=OB．
（1）求证：△OBC≌△ODC．
（2）求证：∠DOE=∠ABC．
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图2），若∠ABC=52°，求∠DOE的度数．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得出∠BCO=∠DCO，再根据全等三角形的判定证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠CBO=∠CDO，再利用对顶角相等和平行线性质证明即可．
（3）借助（1）（2）的方法可求得∠DOE=∠ABC=52°．

解答 解：（1）∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴BC=DC，∠BCA=∠DCA，
在△BCO和△DCO中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCO=∠DCO}\\{CO=CO}\end{array}\right.$，
∴△BCO≌△DCO（SAS）；

（2）如图1，
由（1）知，△BCO≌△DCO，
∴∠CBO=∠CDO，
∵OE=OB，
∴∠CBO=∠E，
∴∠CDO=∠E，
∵∠DFO=∠EFC（对顶角相等），
∴180°-∠DFO-∠CDP=180°-∠EFC-∠E，
即∠DOE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DOE=∠ABC．

（3）如图2，∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴BC=DC，∠BCA=∠DCA，
在△BCO和△DCO中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCO=∠DCO}\\{CO=CO}\end{array}\right.$，
∴△BCO≌△DCO（SAS）；
∴∠CBO=∠CDO，
∵OE=OB，
∴∠CBO=∠E，
∴∠CDO=∠E，
∵∠DFO=∠EFC（对顶角相等），
∴180°-∠DFO-∠CDP=180°-∠EFC-∠E，
即∠DOE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DOE=∠ABC=52°．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的内角和，解本题的关键是判断出△BCO≌△DCO，是一道中等难度的中考常考题．