Question

11．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正弦值为$\frac{3\sqrt{7}}{8}$．

Answer 1

分析 先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质得∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE，CE=BD=6，于是可判断△ADE为等边三角形，所以DE=AD=5，作CH⊥DE于H，如图，设DH=x，则HE=DE-DH=5-x
，利用勾股定理得到4²-x²=6²-（5-x）²，解得x=$\frac{1}{2}$，则可计算出CH=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，然后根据正弦的定义求解．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，
∴∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE，CE=BD=6，
∵△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=5，
作CH⊥DE于H，如图，设DH=x，则HE=DE-DH=5-x
在Rt△CDH中，CH²=CD²-DH²=4²-x²，
在Rt△CEH中，CH²=CE²-EH²=6²-（5-x）²，
∴4²-x²=6²-（5-x）²，解得x=$\frac{1}{2}$，
在Rt△CDH中，CH=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，
∴sin∠CDH=$\frac{CH}{CD}$=$\frac{\frac{3\sqrt{7}}{2}}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
即sin∠CDH=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$．
故答案为$\frac{3\sqrt{7}}{8}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是求C点到DE的距离．