Question

19．在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形ACB与ECD的顶点都在网格点上，点N、M分别为线段AB、DE上的动点，且BN=EM．
（Ⅰ）如图①，当BN=$\sqrt{2}$时，计算CN+CM的值等于$\sqrt{10}$+$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）当CN+CM取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段CN和CM，并简要说明点M和点N的位置是如何找到的（不要求证明）．

Answer 1

分析 （1）根据当BN=EM=$\sqrt{2}$时，点N和点M在格点上，运用勾股定理进行计算即可得到CN+CM的值；
（2）取格点P、Q，使得PB=CE，PB⊥BC，QE=CB，QE⊥AC，连接CP交AB于N，连接CQ交DE于M，则根据全等三角形的对应边相等，以及两点之间线段最短，可得线段CN和CM即为所求．

解答 解：（1）当BN=EM=$\sqrt{2}$时，点N和点M在格点上，
∴CN+CM=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$+$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$+$\sqrt{2}$；

（2）如图所示，取格点P、Q，使得PB=CE，PB⊥BC，QE=CB，QE⊥AC，
连接CP交AB于N，连接CQ交DE于M，则线段CN和CM即为所求．

理由如下：根据等腰直角三角形ACB与ECD的顶点都在网格点上，可得∠PBN=∠CEM=45°，∠CBN=∠QEM=45°，而BN=EM，
故△BPN≌△ECM，△CBN≌△QEM，
∴PN=CM，CN=QM，
∴当P，N，C三点共线时，CM+CN=PN+CN=PC（最短），
当Q，M，C三点共线时，CM+CN=CM+MQ=QC（最短），
∴点M和点N的位置符合题意．

点评 本题主要考查了复杂作图，勾股定理以及全等三角形判定与性质的综合应用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．