Question

已知二次函数图象的对称轴为x=1，且过点A（3，0）与B（0，

3

2

），则下列说法中正确的是（　　）
①当0≤x≤2

2

+1时，函数有最大值2；
②当0≤x≤2

2

+1时，函数有最小值-2；
③点P是第一象限内抛物线上的一个动点，则△PAB面积的最大值为

3

2

；
④对于非零实数m，当x＞1+

1

m

时，y都随着x的增大而减小．

• A、④
• B、①②
• C、③④
• D、①②③

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：设二次函数解析式为y=a（x-1）²+b，然后将点A、B的坐标代入求出a、b，从而得到抛物线解析式，再根据二次函数的增减性误差最大值和最小值，判断出①②正确，利用待定系数法求函数解析式求出直线AB的解析式，设过点P与y轴平行的直线与直线AB相交于点Q，表示出PQ，再利用三角形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题求解；再根据二次函数的增减性分m是正数和负数两种情况讨论求解．

解答：解：∵二次函数图象的对称轴为x=1，设二次函数的解析式为y=a（x-1）²+b，
∴把点A（3，0）与B（0，

3

2

），代入y=a（x-1）²+b，得

4a+b=0 a+b= 3 2

，
解得

a=- 1 2 b=2

，
∴二次函数的解析式为y=-

1

2

（x-1）²+2，
∵0≤x≤2

2

+1，
∴当x=1时，函数有最大值2；故①正确，
当x=2

2

+1时，函数有最小值，最小值=-

1

2

（2

2

+1-1）²+2=-2，故②正确；
如图，易求直线AB的解析式为y=-

1

2

x+

3

2

，
设过点P与y轴平行的直线与直线AB相交于点Q，
则PQ=y=-

1

2

（x-1）²+2-（-

1

2

x+

3

2

）=-

1

2

x²+

3

2

x，
所以，△PAB面积=

1

2

×（-

1

2

x²+

3

2

x）×3=-

3

4

（x-

3

2

）²+

27

16

，
所以，当x=

3

2

时，△PAB的面积有最大值

27

16

，故③错误；
m＜0时，1+

1

m

＜1，y随x的增大而减小，
m＞0时，1+

1

m

＞1，y随x的增大而减大，故④错误，
综上所述，说法正确的是①②．
故选B．

点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，难点在于③表示出△PAB的面积．