Question

如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F在对角线BD上，且BF=DE．
（1）四边形AECF是什么样的特殊四边形？请说明理由；
（2）若AB=2，BF=

2

2

，求四边形AECF的面积．

Answer 1

考点：正方形的性质,勾股定理,菱形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明AC⊥EF，OA=OC，OE=OF即可解决问题．
（2）求出AC、EF的长度，运用菱形的性质即可解决问题．

解答：解：（1）四边形AECF为菱形；理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，BO=DO，AO=CO；
∵BF=DE，
∴OF=OE，
∴AC、EF互相垂直、平分，
∴四边形AECF为菱形．
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC=2；
∴AC²=2²+2²，
∴BD=AC=2

2

，EF=2

2

-2×

2

2

=

2

，
∴SAECF=

1

2

×2

2

×

2

=2．

点评：该题以正方形为载体，以考查正方形的性质、勾股定理、菱形的判定等几何知识点为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．