Question

5．如图，△ABC中，O是边BC的中点，点D是AD延长线上一点，BE∥CD交AD于E，连接BD、CE
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若AB=AC=2$\sqrt{5}$，BC=4，当点D在AD延长线上移动时，四边形BECD能否成为正方形？若能，求出AD的长；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由BE∥CD得到∠EBO=∠DCO，再利用“ASA”证明△OBE≌△OCD得到BE=CD，于是可判断四边形BECD是平行四边形；
（2）由于AB=AC=2$\sqrt{5}$，OB=OC=2，根据等腰三角形的性质得AO⊥BC，于是可判定四边形BECD为菱形，根据正方形的判定方法，当OD=OB=2时，四边形BECD为正方形，接着利用勾股定理计算出OA=4，所以AD=AO+OD=6．

解答 （1）证明：∵BE∥CD，
∴∠EBO=∠DCO，
∵O是边BC的中点，
∴OB=OC，
在△OBE和△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBO=∠DCO}\\{OB=OC}\\{∠BOE=∠COD}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△OCD，
∴BE=CD，
而BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：存在．
∵AB=AC=2$\sqrt{5}$，OB=OC=2，
∴AO⊥BC，
∴四边形BECD为菱形，
当OD=OB=2时，四边形BECD为正方形，
在Rt△ABO中，OA=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=4，
∴AD=AO+OD=4+2=6．

点评 本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．也考查了平行四边形的判定．