Question

已知等腰△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，点E，F，P分别在射线AB，射线AC，射线AD上，且∠EPF+∠BAC=180°．
（1）如图1，当点P与点D重合时，探究线段PE和PF之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，当点P在AD延长线上时，（1）中的结论是否仍成立？（直接写出结论，不需证明）
（3）如图3，当E与B重合时，过F任作一射线FN，在射线FN上取一点M，使∠BMF=∠BPF，连结PM，探究∠PMF与∠BAC之间的数量关系，并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）在AB上取点G，使AG=AF，连接DG，由等腰三角形的性质证明△AGD≌△AFD就可以得出结论；
（2）在AC上取点G，使AG=AE，连接PG，由等腰三角形的性质证明△AEP≌△AGP就可以得出结论；
（3）连接PC，BF，由中垂线的性质就可以得出PC=PB，就可以得出△ABP≌△ACP，就可以得出PC=PF，根据∠BMF=∠BPF，就可以得出B、M、P、F四点共圆，就可以得出∠PMF=∠PBF，得出∠PBF+∠PFB=∠BAC，就可以得出∠BAC=2∠PBF，从而得出结论．

解答：解：（1）在AB上取点G，使AG=AF，连接DG，
∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD．
在△AGD和△AFD中

AG=AF ∠BAD=∠CAD AD=AD

，
∴△AGD≌△AFD（SAS），
∴GD=FD，∠AGD=∠AFD．
∵∠BAC+∠AED+∠EDF+∠AFD=360°，且∠EPF+∠BAC=180°，
∴∠AED+∠AFD=180°，
∴∠AED+∠AGD=180°．
∵∠AGD+∠EGD=180°，
∴∠AED=∠EGD，
∴ED=GD，
∴EP=FP；

（2）EP=FP成立
理由：在AC上取点G，使AG=AE，连接PG，
∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD．
在△AEP和△AGP中

AE=AG ∠BAD=∠CAD AP=AP

，
∴△AEP≌△AGP（SAS），
∴EP=GP，∠AEP=∠AGP．
∵∠BAC+∠AEP+∠EPF+∠AFP=360°，且∠EPF+∠BAC=180°，
∴∠AEP+∠AFP=180°，
∴∠AGP+∠AFP=180°．
∵∠AGP+∠FGP=180°，
∴∠AFP=∠EGP，
∴PG=PF，
∴EP=FP；

（3）连接PC，BF，
∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴PB=PC．
在△ABP和△ACP中，

AB=AC PB=PC AP=AP

，
∴△ABP≌△ACP（SSS），
∴∠ABP=∠ACP．
∵∠BAC+∠ABP+∠BPF+∠AFP=360°，且∠BPF+∠BAC=180°，
∴∠ABP+∠AFP=180°，
∴∠ACP+∠AFP=180°．
∵∠ACP+∠FCP=180°，
∴∠AFP=∠FCP，
∴PC=PF，
∴PC=PF=PB．
∴∠PBF=∠PFB．
∵∠PBF+∠PFB+∠BPF=180°，∠BPF+∠BAC=180°，
∴∠PBF+∠PFB=∠BAC．
∴2∠PBF=∠BAC．
∵∠BMF=∠BPF，
∴B、M、P、F四点共圆，
∴∠PMF=∠PBF．
∴2∠PMF=∠BAC．

点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，四点共圆的旋转的运用，解答时证明三角形全等是关键．