Question

14．如图，已知二次函数y=-x²+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（5，3），点C（0，8），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点A、C的坐标代入函数解析式，用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）结合点A、B、C的坐标，三角形的面积公式进行解答；
（3）点M是沿着对称轴直线x=2向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将x=2代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；．

解答 解：（1）把点A（5，3），点C（0，8）代入二次函数y=-x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{-25+5b+c=3}\\{c=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=8}\end{array}\right.$，
∴二次函数解析式为y=-x²+4x+8，配方得y=-（x-2）²+12
∴点M的坐标为（2，12）；

（2）由（1）知，抛物线的对称轴是x=2．
∵A（5，3），AB∥x轴，
∴AB=6，D（0，3）
∵C（0，8），
∴CD=5，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×6×5=15，
即△ABC的面积=15；

（3）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（5，3），C（0，8）代入$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=3}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-x+8，对称轴直线x=2与△ABC两边分别交于点E、点F，
把x=2代入直线AC解析式y=-x+8，
解得y=6，则点E坐标为（2，6），点F坐标为（2，3）
∴3＜12-m＜6，解得6＜m＜9．

点评 此题主要考查了待定系数法，三角形面积的计算方法，解本题的关键是确定出抛物线解析式．