Question

平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y₁=（x＞0）与y₂=﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为

a、b．

（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；

（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；

（3）作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y₁=（x＞0）的图象都有交点，请说明理由．

　

Answer 1

【考点】反比例函数综合题．

【专题】代数几何综合题；压轴题．

【分析】（1）如图1，AB交y轴于C，由于AB∥x轴，根据k的几何意义得到S_△OAC=2，S_△OBC=2，所以S_△OAB=S_△OAC+S_△OBC=4；

（2）根据函数图象上点的坐标特征得A、B的纵坐标分别为、﹣，根据两点间的距离公式得到OA²=a²+（）²，OB²=b²+（﹣）²，则利用等腰三角形的性质得到a²+（）²=b²+（﹣）²，变形得到（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，由于a+b≠0，a＞0，b＜0，所以1﹣=0，易得ab=﹣4；

（3）由于a≥4，AC=3，则可判断直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y₁=（x＞0）的图象一定有交点，设直线CD与函数y₁=（x＞0）的图象交点为F，由于A点坐标为（a，），正方形ACDE的边长为3，则得到C点坐标为（a﹣3，），F点的坐标为（a﹣3，），所以FC=﹣，然后比较FC与3的大小，由于3﹣FC=3﹣（﹣）=，而a≥4，所以3﹣FC≥0，于是可判断点F在线段DC上．

【解答】解：（1）如图1，AB交y轴于C，

∵AB∥x轴，

∴S_△OAC=×|4|=2，S_△OBC=×|﹣4|=2，

∴S_△OAB=S_△OAC+S_△OBC=4；

（2）∵A、B的横坐标分别为a、b，

∴A、B的纵坐标分别为、﹣，

∴OA²=a²+（）²，OB²=b²+（﹣）²，

∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，

∴OA=OB，

∴a²+（）²=b²+（﹣）²，

∴a²﹣b²+（）²﹣（）²=0，

∴a²﹣b²+=0，

∴（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，

∵a+b≠0，a＞0，b＜0，

∴1﹣=0，

∴ab=﹣4；

（3）∵a≥4，

而AC=3，

∴直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y₁=（x＞0）的图象一定有交点，

设直线CD与函数y₁=（x＞0）的图象交点为F，如图2，

∵A点坐标为（a，），正方形ACDE的边长为3，

∴C点坐标为（a﹣3，），

∴F点的坐标为（a﹣3，），

∴FC=﹣，

∵3﹣FC=3﹣（﹣）=，

而a≥4，

∴3﹣FC≥0，即FC≤3，

∵CD=3，

∴点F在线段DC上，

即对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y₁=（x＞0）的图象都有交点．

【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数比例系数的几何意义、图形与坐标和正方形的性质；会利用求差法对代数式比较大小．