Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．

（1）求证：①△AEF≌△BEC；②四边形BCFD是平行四边形；

（2）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值．

　

Answer 1

【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．菁优网版权所有

【专题】综合题；压轴题．

【分析】（1）①在△ABC中，由已知可得∠ABC=60°，从而推得∠BAD=∠ABC=60°．由E为AB的中点，得到AE=BE．又因为∠AEF=∠BEC，所以△AEF≌△BEC．

②在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=AB，BE=AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，则四边形BCFD是平行四边形．

（2）在Rt△ABC中，设BC=a，则AB=2BC=2a，AD=AB=2a．设AH=x，则HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC²=3a²．

在Rt△ACH中，由勾股定理得AH²+AC²=HC²，即x²+3a²=（2a﹣x）²．解得x=a，即AH=a．求得HC的值后，利用sin∠ACH=AH：HC求值．

【解答】（1）证明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°．

在等边△ABD中，∠BAD=60°，

∴∠BAD=∠ABC=60°．

∵E为AB的中点，

∴AE=BE．

又∵∠AEF=∠BEC，

∴△AEF≌△BEC．

②在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，

∴CE=AB，BE=AB．

∴CE=AE，

∴∠EAC=∠ECA=30°，

∴∠BCE=∠EBC=60°．

又∵△AEF≌△BEC，

∴∠AFE=∠BCE=60°．

又∵∠D=60°，

∴∠AFE=∠D=60°．

∴FC∥BD．

又∵∠BAD=∠ABC=60°，

∴AD∥BC，即FD∥BC．

∴四边形BCFD是平行四边形．

（2）解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，

∴∠CAH=90°．

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC=a，

∴AB=2BC=2a．

∴AD=AB=2a．

设AH=x，则HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x，

在Rt△ABC中，AC²=（2a）²﹣a²=3a²，

在Rt△ACH中，AH²+AC²=HC²，即x²+3a²=（2a﹣x）²，

解得x=a，即AH=a．

∴HC=2a﹣x=2a﹣a=a．

∴sin∠ACH==．

【点评】本题考查了：

（1）折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；

（2）全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正弦的概念求解．