Question

8．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S₁，S₂，S₃，…，S₁₀，则S₁+S₂+S₃+…+S₁₀=π．

Answer 1

分析 （1）图1，作辅助线构建正方形OECF，设圆O的半径为r，根据切线长定理表示出AD和BD的长，利用AD+BD=5列方程求出半径r=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b是直角边，c为斜边），运用圆面积公式=πr²求出面积=π；
（2）图2，先求斜边上的高CD的长，再由勾股定理求出AD和BD，利用半径r=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b是直角边，c为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=π；
（3）图3，继续求高DM和CM、BM，利用半径r=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b是直角边，c为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和=π；
综上所述：发现S₁+S₂+S₃+…+S₁₀=π．

解答 解：（1）图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°
∵∠C=90°
∴四边形OECF为矩形
∵OE=OF
∴矩形OECF为正方形
设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3-r，BD=4-r
∴3-r+4-r=5，r=$\frac{3+4-5}{2}$=1
∴S₁=π×1²=π
（2）图2，由S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×5×CD
∴CD=$\frac{12}{5}$
由勾股定理得：AD=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，BD=5-$\frac{9}{5}$=$\frac{16}{5}$
由（1）得：⊙O的半径=$\frac{\frac{9}{5}+\frac{12}{5}-3}{2}$=$\frac{3}{5}$，⊙E的半径=$\frac{\frac{12}{5}+\frac{16}{5}-4}{2}$=$\frac{4}{5}$
∴S₁+S₂=π×$（\frac{3}{5}）^{2}$+π×$（\frac{4}{5}）^{2}$=π
（3）图3，由S_△CDB=$\frac{1}{2}$×$\frac{12}{5}$×$\frac{16}{5}$=$\frac{1}{2}$×4×MD
∴MD=$\frac{48}{25}$
由勾股定理得：CM=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}-（\frac{48}{25}）^{2}}$=$\frac{36}{25}$，MB=4-$\frac{36}{25}$=$\frac{64}{25}$
由（1）得：⊙O的半径=$\frac{3}{5}$，：⊙E的半径=$\frac{\frac{48}{25}+\frac{36}{25}-\frac{12}{5}}{2}$=$\frac{12}{25}$，：⊙F的半径=$\frac{\frac{48}{25}+\frac{64}{25}-\frac{16}{5}}{2}$=$\frac{16}{25}$
∴S₁+S₂+S₃=π×$（\frac{3}{5}）^{2}$+π×$（\frac{12}{25}）^{2}$+π×$（\frac{16}{25}）^{2}$=π
∴图4中的S₁+S₂+S₃+S₄=π
则S₁+S₂+S₃+…+S₁₀=π
故答案为：π．

点评 本题考查了直角三角形的内切圆，这是一个图形变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解；解决此题的思路为：①先找出计算直角三角形内切圆半径的规律：半径r=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b是直角边，c为斜边）；②利用面积相等计算斜边上的高；③运用勾股定理计算直角三角形的边长．