Question

15．如图，边长为4的正方形ABCD中，AE=CF=1，点G、H分别是边AB、CD上的动点，且AG=CH．
（1）判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）当AG的长为1或3时，四边形EGFH为矩形；
（3）设四边形EGFH的周长为L，则L的范围是$2\sqrt{5}+2\sqrt{13}≤L≤8\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定和性质得出EG=FH，EH=GF，即可证明是平行四边形．
（2）根据相似三角形得出AG的长即可．
（3）根据勾股定理解答即可．

解答 解：（1）四边形EGFH是平行四边形；
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA=4，
在Rt△AEG和△CFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{∠A=∠C}&{\;}\\{AG=CH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEG≌△CFH（SAS），
∴EG=FH，
同理：EH=GF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）当AG的长为1或3时，四边形EGFH为矩形；
理由：设AG=x，则BG=4-x，BF=3，
当四边形EGFH为矩形时，∠EGF=90°，
∴∠AGE+∠BGF=90°，
∵∠AGE+∠AEG=90°，
∴AEG=∠BGF，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEG∽△BGF，
∴$\frac{AG}{BF}=\frac{AE}{BG}$，
即$\frac{x}{3}=\frac{1}{4-x}$，
解得：x=1，或x=3，
故答案为：1或3．
（3）当点G和点H运动到AB和CD的中点时，四边形EGFH的周长最小，
EG=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}$，GF=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{13}$，
所以四边形EGFH的周长为：$2\sqrt{5}+2\sqrt{13}$，
当点G和点H运动到AE=AG，CF=CH时，四边形EGFH的周长最大，
EG=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2}$，GF=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}=3\sqrt{2}$，
所以四边形EGFH的周长为：8$\sqrt{2}$，
所以L的范围是$2\sqrt{5}+2\sqrt{13}≤L≤8\sqrt{2}$．

点评 此题考查正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质证明四边形EGFH是平行四边形．