Question

10．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm²？
（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1？

Answer 1

分析 （1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm²，根据等量关系：△PBQ的面积等于8cm²，列出方程求解即可；
（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；
（3）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4）；②点P在线段AB上，点Q在线段CB上（4＜x＜6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6）；进行讨论即可求解．

解答 解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm²，依题意有
$\frac{1}{2}$（6-x）•2x=8，
解得x₁=2，x₂=4，
经检验，x₁，x₂均符合题意．
故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm²；

（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有
△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
$\frac{1}{2}$（6-y）•2y=24，
y²-6y+24=0，
∵△=b²-4ac=36-4×24=-60＜0，
∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分；

（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4），
设经过m秒，依题意有
$\frac{1}{2}$（6-m）（8-2x）=1，
m²-10m+23=0，
解得m₁=5+$\sqrt{2}$，m₂=5-$\sqrt{2}$，
经检验，m₁=5+$\sqrt{2}$不符合题意，舍去，
∴m=5-$\sqrt{2}$；
②点P在线段AB上，点Q在线段CB上（4＜x＜6），
设经过n秒，依题意有
$\frac{1}{2}$（6-n）（2n-8）=1，
m²-10n+25=0，
解得n₁=n₂=5，
经检验，n=5符合题意．
③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6），
设经过k秒，依题意有
$\frac{1}{2}$（k-6）（2k-8）=1，
k²-10k+23=0，
解得k₁=5+$\sqrt{2}$，k₂=5-$\sqrt{2}$，
经检验，k₁=5-$\sqrt{2}$不符合题意，舍去，
∴k=5+$\sqrt{2}$；
综上所述，经过（5-$\sqrt{2}$）秒，5秒，（5+$\sqrt{2}$）秒后，△PBQ的面积为1．

点评 考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．