Question

20．如图，A，B分别在反比例函数y=$\frac{1}{x}$，y=$\frac{k}{x}$（k＞1）图象上且在第一象限内，且AB∥x轴，AD⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别为点D，点C．
（1）若AD=2AB=2，求k的值；
（2）当k=4时，求矩形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由条件可得A点纵坐标，代入y=$\frac{1}{x}$，可求得A点坐标，则可求得OD的长，结合条件可求得OC的长，则可得到B点坐标，代入y=$\frac{k}{x}$可求得k的值；
（2）延长BA交y轴于点E，利用反比例函数k的几何意义可求得S_矩形OEBC和S_矩形OEAD，则可求得矩形ABCD的面积．

解答 解：
（1）∵AD=2，
∴A点纵坐标为2，
∵A点在反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象上，
∴2=$\frac{1}{x}$，解得x=$\frac{1}{2}$，
∴OD=$\frac{1}{2}$，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=2AB=2CD=2，
∴CD=1，
∴OC=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴B点坐标为（$\frac{5}{2}$，2），
∵B点在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞1）图象上，
∴k=$\frac{5}{2}$×2=5；
（2）如图，延长BA交y轴于点E，

∵k=4，
∴过A、B两点的反比例函数解析式分别为y=$\frac{1}{x}$，y=$\frac{4}{x}$，
∴S_矩形OEBC=4，S_矩形OEAD=1，
∴S_矩形ABCD=S_矩形OEBC-S_矩形OEAD=4-1=3．

点评 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征和k的几何意义，掌握反比例函数中k的几何意义是解题的关键，即过反比例函数图象上任意一点引x轴、y轴的垂线，两垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．