Question

2．如图，抛物线y=mx²-16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．
（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；
（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；
（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x₀，y₀）总有n+$\frac{1}{6}$≥-4$\sqrt{3}$my₀²-12$\sqrt{3}$y₀-50成立，求实数n的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据y=mx²-16mx+48m，可得A（12，0），C（0，48m），再根据OA=OC，即可得到12=48m，进而得出m的值；
（2）根据C、E两点总关于原点对称，得到E（0，-48m），根据E（0，-48m），A（12，0）可得直线AE的解析式，最后解方程组即可得到直线AE与抛物线的交点D的坐标；
（3）根据△ODB∽△OAD，可得OD=4$\sqrt{3}$，进而得到D（6，-2$\sqrt{3}$），代入抛物线y=mx²-16mx+48m，可得抛物线解析式，再根据点P（x₀，y₀）为抛物线上任意一点，即可得出y₀≥-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，令t=-2（y₀+3$\sqrt{3}$）²+4，可得t_最大值=-2（-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$+3$\sqrt{3}$）²+4=$\frac{10}{3}$，再根据n+$\frac{1}{6}$≥$\frac{10}{3}$，可得实数n的最小值为$\frac{19}{6}$．

解答 解：（1）令y=mx²-16mx+48m=m（x-4）（x-12）=0，则x₁=12，x₂=4，
∴A（12，0），即OA=12，
又∵C（0，48m），
∴当△OAC为等腰直角三角形时，OA=OC，
即12=48m，
∴m=$\frac{1}{4}$；

（2）由（1）可知点C（0，48m），
∵对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，
∴必有E（0，-48m），
设直线AE的解析式为y=kx+b，
将E（0，-48m），A（12，0）代入，可得
$\left\{\begin{array}{l}{12k+b=0}\\{b=-48m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=4m}\\{b=-48m}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式为y=4mx-48m，
∵点D为直线AE与抛物线的交点，
∴解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=m（x-4）（x-12）}\\{y=4mx-48m}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=-16m}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=12}\\{y=0}\end{array}\right.$（点A舍去），
即点D的坐标为（8，-16m）；

（3）当∠ODB=∠OAD，∠DOB=∠AOD时，△ODB∽△OAD，
∴OD²=OA×OB=4×12=48，
∴OD=4$\sqrt{3}$，
又∵点D为线段AE的中点，
∴AE=2OD=8$\sqrt{3}$，
又∵OA=12，
∴OE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{O}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴D（6，-2$\sqrt{3}$），
把D（6，-2$\sqrt{3}$）代入抛物线y=mx²-16mx+48m，可得-2$\sqrt{3}$=36m-96m+48m，
解得m=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x-4）（x-12），
即y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x-8）²-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵点P（x₀，y₀）为抛物线上任意一点，
∴y₀≥-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
令t=-4$\sqrt{3}$my₀²-12$\sqrt{3}$y₀-50=-2y₀²-12$\sqrt{3}$y₀-50=-2（y₀+3$\sqrt{3}$）²+4，
则当y₀≥-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$时，t_最大值=-2（-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$+3$\sqrt{3}$）²+4=$\frac{10}{3}$，
若要使n+$\frac{1}{6}$≥-4$\sqrt{3}$my₀²-12$\sqrt{3}$y₀-50成立，则n+$\frac{1}{6}$≥$\frac{10}{3}$，
∴n≥3$\frac{1}{6}$，
∴实数n的最小值为$\frac{19}{6}$．

点评 本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的最值，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质以及待定系数法求直线解析式的综合应用，解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．